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Erweitertes Intervall

Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen,   die Beschränkung auf das Intervall
wird damit aufgehoben. Durch Einführung der Kreisfrequenz (T: Periodendauer)    und durch die Substitution in den Koeffizienten und der Fourier-Reihe erhält man die Form der Fourier-Reihe, die gültig ist für Funktionen mit der Periodendauer T:

und den Koeffizienten:

und

Die Teilschwingung in der Reihenentwicklung mit der kleinsten Kreisfrequenz bezeichnet man als Grundschwingung,  alle übrigen Schwingungen mit den Vielfachen von nennt man Oberschwingungen.  
 

  1. Weil die Funktion periodisch ist mit der Periodendauer T, kann statt des Intervalls auch das Intervall genommen werden. Die Integrationsgrenzen laufen dann von bis T.
  2. In der Elektrotechnik kann die Fourier-Reihe als eine Entwicklung periodisch veränderlicher Ströme (Spannungen) nach Grund- und Oberschwingungen angesehen werden. Der Koeffizient erhält dann die Interpretation des doppelten Gleichstromanteils ( Gleichspannungsanteils) in der Entwicklung.
  3. Die Variable t kann nicht nur als Zeit, sondern auch als Ort interpretiert werden (). Dann nimmt die Kreisfrequenz die Rolle der Wellenzahl an (), und die Periodendauer T geht in die Wellenlänge über. Damit gilt für die Wellenzahl .

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