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gewählt):
Testfunktion, Funktion durch die die gesuchte Funktion in jedem der Elemente (=Teilintervalle der Partition) approximiert wird. Die Testfunktion sollte möglichst einfache Gestalt haben und auf möglichst wenigen Elementen von null verschieden sein.
Darstellung der Funktion 
durch eine Summe über alle
Elemente:
Stetigkeit, die Testfunktionen enthalten zunächst
unbestimmte Parameter, die durch die Forderung nach Stetigkeit von
festgelegt werden (wählt man kompliziertere Testfunktionen als
die skizzierte, so kann man auch Differenzierbarkeit von u fordern
etc.).
Es bleibt die Bestimmung der Koeffizienten 
. Hat man diese
berechnet, so ist die Näherung der untersuchten Differentialgleichung
durch obige Darstellung von u gegeben.
Ritzsches Variationsverfahren,
Bestimmung einer Näherungslösung als die optimale Approximation der exakten
Lösung durch Funktionen eines geeigneten Funktionenraumes (z.B. Polynome
oder auch Winkelfunktionen, etc.).
Zugehöriges Funktional
der Differentialgleichung, wird
bestimmt durch Multiplikation mit einer allgemeinen Testfunktion und
Integration über das Gebiet (= den Definitionsbereich). Einsetzen
der Darstellung von u in die Gleichung für das Funktional der
Differentialgleichung führt dann auf ein lineares Gleichungssystem
zur Bestimmung der Koeffizienten 
.
Damit ist dann die Lösung der Differentialgleichung durch das
Auflösen eines linearen Gleichungssystems bestimmbar.
Da man die Testfunktionen so wählt, daß sie in möglichst vielen
Elementen verschwinden, ist die betreffende Matrix meist eine schmale
Bandmatrix, die beispielsweise mit dem
Gauß-Seidel-Verfahren
gelöst werden kann.
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